Un nuevo enfoque sobre la conjetura de Whitehead y la asfericidad de los complejos LOT

 

Autores
Cerdeiro, Manuela A.
Tipo de recurso
tesis doctoral
Estado
Versión publicada
Año de publicación
2015
País
Argentina
Institución
Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Repositorio
Biblioteca Digital (UBA-FCEN)
Descripción
Este trabajo se centra en el estudio de la conjetura de Whitehead y de la asfericidad de los complejos LOT, aplicando nuevos métodos y herramientas basados principalmente en la teoría de espacios topológicos finitos. Sea L un complejo asférico de dimensión 2. Los subcomplejos de L son también asféricos? Esta pregunta fue formulada por J. H. C. Whitehead en 1941 [Whi41], y todavía no tiene respuesta. Entre los avances más importantes en este tema está el teorema de J. Howie a partir del cual el problema se separa en dos casos donde se consideran, respectivamente, complejos compactos y no compactos [How83]. A partir de este resultado, traducimos el caso compacto al contexto de los espacios finitos, y podemos atacar el problema con un enfoque nuevo, distinto de las estrategias aplicadas hasta ahora. Los complejos LOT (labeled oriented tree) aparecen en el estudio de ciertas variedades que surgen como complementos de los llamados ribbon discs. Howie probó que si un complejo se 3-deforma a un punto, entonces el subcomplejo que surge de quitarle una 2-celda se 3-deforma a un complejo LOT [How83]. Es por esto que los complejos LOT forman un nexo entre la conjetura de Whitehead y la conjetura de Andrews-Curtis. Por otro lado, todo complejo LOT se puede ver como subcomplejo de un complejo contráctil. Es por esto que los complejos LOT son considerados casos testigos de la conjetura de Whitehead. La teoría de espacios finitos comenzó en los años 30 con un trabajo de P. S. Alexandroff donde se los relaciona con los conjuntos parcialmente ordenados (posets) finitos [Ale37]. Esta teoría tuvo un avance importante en el a~no 1966 con el trabajo de M. C. McCord a partir del cual se constituyen como modelos combinatorios de poliedros [McC66]. En los últimos años, J. A. Barmak y E. G. Minian hicieron importantes avances en esta teoría. Entre otros aportes, desarrollaron la teoría de homotopía simple para espacios finitos, y aplicaron los espacios finitos al estudio de las conjeturas de Quillen y de Andrews-Curtis [BM07, BM08b, BM08a, Bar11]. En este trabajo desarrollamos nuevos métodos combinatorios de espacios finitos, diseñados espacialmente para el estudio de la asfericidad. Probamos la validez de la conjetura para dos amplias familias de poliedros compactos: los cuasi construibles contráctiles, y los fuertemente asféricos. Utilizando resultados recientes de Barmak y Minian sobre G- coloreos de posets, obtenemos una descripción eficiente del segundo grupo de homotopía de un complejo LOT, como un submódulo de un módulo libre, con generadores indexados por las aristas, y ecuaciones indexadas por los vértices. A partir de esta descripción, hallamos un método para el análisis de la asfericidad de estos complejos. Con este nuevo método se obtenemos resultados sobre la asfericidad de importantes familias de LOTs. Palabras clave: CW-complejos, asfericidad, complejos LOT, espacios topológicos finitos, métodos de reducción.
Idioma
español
OAI Identifier
snrd:Tesis_5777_Cerdeiro
Enlace del recurso
http://digital.bl.fcen.uba.ar/gsdl-282/cgi-bin/library.cgi?a=d&c=tesis&d=Tesis_5777_Cerdeiro
Nivel de acceso
Acceso abierto
Materia
CW-COMPLEXES
ASPHERICITY
LOT COMPLEXES
FINITE TOPOLOGICAL SPACES
REDUCTION METHODS
CW-COMPLEJOS
ASFERICIDAD
COMPLEJOS LOT
ESPACIOS TOPOLOGICOS FINITOS
METODOS DE REDUCCION